2014 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

令 $m=n=0$ 得 $f(0)=0$，令 $n=-m$ 得 $f(-m)=-f(m)$，故 $f$ 为奇函数。若 $v>u$，则 $f(v)-f(u)=f(v-u)>0$，故 $f$ 在全实域严格递增。又 $f(12)=24$，且 $f(t/2)=f(t)/2$，所以三集合化为 $A=\{(x,y):3x^2+4y^2\le 12\}$、$B=\{(x,y):x-ay+3=0\}$、$C=\{(x,y):x=y^2/2+a\}$。椭圆域 $A$ 上线性式 $x-ay$ 的取值为 $[-\sqrt{4+3a^2},\sqrt{4+3a^2}]$，所以 $A\cap B\ne \varnothing$ 当且仅当 $|a|\ge \sqrt{15}/3$。对 $A\cap C$，令 $t=y^2\ge 0$，须有 $Q_a(t)=3t^2/4+(3a+4)t+3a^2\le 12$。当 $a\ge -4/3$，最小值在 $t=0$，得到此段允许 $-4/3\le a\le 2$；当 $a<-4/3$，最小点 $t=-2a-8/3>0$，最小值 $-8a-16/3$ 不超过 $12$ 当且仅当 $a\ge -13/6$。合并得第二相交条件为 $-13/6\le a\le 2$。两条件同时成立的范围为 $\boxed{[-13/6,-\sqrt{15}/3]\cup [\sqrt{15}/3,2]}$。