2008 年河南预赛 · 第 10 题

解答

设沿两射线的单位向量为 $u,v$，$u\cdot v=1/2$。令 $P=pu,Q=qv$，其中 $p,q>0$。由 $PQ=\sqrt{7}$，

原式的第一项为 $p-q/2$，第二项为 $3(q-p/2)$，故目标为

令 $r=p/q>0$，得到

其导数为

所以 $f$ 在 $(0,1/3]$ 上递增，在 $[1/3,+\infty )$ 上递减，最大值为 $f(1/3)=7$。又

右侧连续递减分支取遍 $(-\sqrt{7}/2,7]$，左侧分支也在该区间内。故所求范围为