2012 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

以三角形 $BEH$ 为公共面，将所求凸多面体分成四棱锥 $H$-$EBCF$ 和四面体 $H$-$BEG$，两者内部不交。 由于 $E,F$ 分别为 $AB,CD$ 的中点，矩形 $EBCF$ 的面积为正方形 $ABCD$ 面积的一半； $H$ 是 $PC$ 的中点，其到底面距离为 $P$ 到底面距离的一半。因此

再以 $△BEG$ 与 $△BPA$ 为底面比较三棱锥。$BE/BA=BG/BP=1/2$，故 $S_{BEG}/S_{BPA}=1/4$。两底面都在平面 $PAB$ 内，而 $H$ 是 $PC$ 的中点，故 $H$ 到平面 $PAB$ 的距离是 $C$ 到该平面的距离的一半。 于是

所求体积为 $\boxed{1/4+1/16=5/16}$。