培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题导数的应用
对任意实数a，证明x²+a x-(1/3+a/2)=0在(0,1)至少有一根。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
连续函数积分为零且不恒零时必在内部变号。
解答
记左侧多项式为q(x)，直接积分得∫₀¹q(x)dx=1/3+a/2-(1/3+a/2)=0。q不恒零。若q在(0,1)没有零点，连续性使它在整个开区间同号，则积分严格同号，矛盾。因此内部至少一根。 所求为 。
复核
内部无根时的同号来自连续性，端点有根也不能使全段同号的积分为0。
方法总结
连续函数积分为零且不恒零时必在内部变号。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
连续函数积分为零且不恒零时必在内部变号。
已记下，谢谢！