2026 年浙江预赛

解答

令点 $A,B$ 的位置向量分别为 $\vec{a},\vec{b}$，并记

则 $U$ 在线段 $AB$ 上，原式等于

因为 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，原点到直线 $AB$ 的垂足是 $AB$ 的中点：

故原点关于直线 $AB$ 的对称点 $O^{\prime }$ 的位置向量为 $\vec{a}+\vec{b}$。对 $U\in AB$， $|U-O|=|U-O^{\prime }|$，于是由三角不等式，(1) 不小于

又 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos 60^{\circ }=1/2$，所以

当

时，$U$ 在线段 $O^{\prime }$ 与位置向量为 $\vec{b}/4$ 的点之间，同时 $t=4/7\in [0,1]$， 三角不等式取等。因此最小值为