同一骨架 2026 年贵州预赛 · P006013
两题都先由内层必须有定义与函数严格递减，排除负值分支。把内层整体再代入一次，得到相同外层函数值，再由单射性消去外层，把函数方程化成一个代数量的方程。
乘积常数不同，筛选后的代数值与后续最值目标也不同；不可跳过符号证明而随意选择代数根。
培玉 · 一试
2022 年四川预赛
严格递减函数方程的最小值
F4填空题函数综合
已知函数 在 上严格单调递减，对任意 ，均有
记
则函数 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
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想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
严格单调函数为单射。反合映射指T(T(x))=x，并不要求T本身为恒等；此处由再次代入及单射性推出，不是预先假设。
想法从哪来：复合函数方程先要检查内层自变量始终落在定义域，否则后续代入没有意义。由这个正性限制结合f严格递减，可先排除f为负的可能。再把内层定义成映射T，原方程会让第二次复合后的f值回到起点；严格递减保证单射，才可从函数值相等推出T复合T等于恒等。这样复杂函数关系转成x与T(x)的代数乘积，正性筛掉一个不合支路，函数被唯一确定。最后才优化g，并把得到的f代回最初的复合等式核验。若开头跳过正性，二次方程的两个根会给出看似都可行的错误分支。
把复合自变量记为 。单调性使 可由函数值相等推出自变量相等，而把原方程在 处再用一次，可证明 是反合函数，继而代数求出 。
解答
原等式对每个 都有意义，所以
先证 。若存在 使 ，则严格递减性给出 时 。另一方面 要求 。取充分大的 使 ，即得
矛盾。因此 。
函数 与 都严格递减，故 严格递减。原方程写成
在 处再次使用原方程，得
由于 严格单调，故为单射，于是
记 。由
可知 ；又
代回原方程得到
即
令 ，则
故 或 。由 得 ，所以
因此
令 ，由算术--几何平均不等式
等号在 ，即 时成立。故最小值为
复核
确为 上严格递减函数，且
故求出的函数满足全部条件，最小值的等号点也在定义域内。
方法总结
单调函数方程中出现 时，可把内层自变量定义为新映射。若第二次代入能得到相同函数值，利用严格单调带来的单射性常可把复合关系提升为自变量恒等式。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
必须先由复合定义域排除负函数值，再借二次迭代及单射得到T自反，结合乘积恒等式和正性筛掉错误根，最后才恢复f=1/x并求最值。
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