一试训练题

解答

记 $H(x)=2(5-x)\sin \pi x-1$，则 $H(10-x)=H(x)$，且 $H(5)=-1$。在 $[0,5)$ 内，零点等价于

右侧被减项为正，故只需考察 $(0,1)$、$(2,3)$、$(4,5)$。在每一段内，

所以 $J$ 严格凹。前两段两端的 $J$ 为负，中点分别有 $2(5-x)\sin \pi x=9,5>1$；第三段左端为负，右端趋于负无穷，而在 $x=13/3$ 处

于是由连续性，每段至少有两个零点；严格凹函数不可能有三个零点，故各恰有两个。 因此 $[0,5)$ 共 $6$ 个零点，关于 $5$ 反射给另 $6$ 个，成 $6$ 对，每对之和为 $10$。所求为 $\boxed{60}$。