2016 年黑龙江预赛 · 第 5 题

解答

原正方体棱长由图中尺寸为 $3$。按主视图的水平方向、前后方向及竖直方向建立三个互相垂直的方向。 主视图为直角三角形，排除了正方体在该斜边下方的两个顶点；剩下六个可能顶点。 俯视图和侧视图均须覆盖整个正方形，因此主视图斜边两端所对应的前后各两个顶点都必须保留。 记它们为 $A,B,C,D$，则 $ABCD$ 是正方体的一个对角截面：一边长 $3$，另一边长 $3\sqrt{2}$。 主视图的第三个顶点还要求保留另两个可能顶点中的至少一个。 若两个都保留，则为三棱柱，其俯视图和侧视图都是无内部对角棱的正方形，与原图不符。 故恰保留一个，记为 $S$；图中的实、虚对角线确定其前后位置。所求几何体即四棱锥 $S-ABCD$。

垂直于棱 $AB$ 截取正方形截面：底面 $ABCD$ 的迹线是该正方形的一条对角线，点 $S$ 的投影是另一顶点。 故锥高为 $h=3/\sqrt{2}$。因此

应选 C。