2008 年陕西预赛 · 第 10 题

解答

记 $u=m^3-m,v=n^3-n,R^2=(3k+1{)}^2$。对任一切点 $T=(s,t)$，半径与切线垂直，所以 $T\cdot (P-T)=0$，即 $us+vt=R^2$。两个不同切点因此确定直线

任意整数的三个相邻整数乘积均被三整除，所以 $3\mid u,v$，但右侧模三为一。如果 $X,Y$ 为整数，等式左侧模三为零，矛盾。因此该直线上整点为 $\boxed{0\text{ 个}}$，选 C。