培玉 · 一试
2009 年安徽预赛 · 第 2 题
F3填空题平面几何综合
设凸四边形 满足 ，，，则对角线 的长度的取值范围是
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先看三角形ABD：已知两腰1，它的底边确定三角形BCD的外接圆半径。
思路
凸性和C为钝角再唯一确定这个圆心恰好是A。
解答
在等腰三角形ABD中，
三角形BCD的外接圆半径为
而AB=AD=1，所以A是“到B、D均距离1”的两个候选圆心之一。凸四边形的对角线BD将A、C分在异侧；又 为钝角，三角形BCD的外心位于BD的另一侧，即与C异侧。两个候选圆心中恰有A位于这一侧，故A正是BCD的外心。因此AC恒为1，取值范围为
复核
取A为原点、B和D为单位圆上辐角−80°、80°的点，再取右侧弧内一点C，得到非退化凸四边形且角C=100°。所以单点值确能实现，而非仅得一个必要条件。另一候选圆心与C同侧，不能对应此钝角构型。
方法总结
取值范围题也可能得到单点集合。等腰边长与另一顶角给外接圆半径时，利用凸性和外心所在半平面可识别一个已有顶点就是圆心。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
由两腰和另一顶角先定外接圆半径，再借凸性与钝角外心所在半平面识别已有顶点就是圆心；值域可以是单点集合。
已记下，谢谢！