垫脚石（相关题 → 此题） 2024 年内蒙古预赛 · P006560
先在便于计算的参数空间求面积或体积，再乘线性变换行列式的绝对值。平面伸缩示范了倍率校正，空间中换成非正交棱向量时，还须由夹角确定三维倍率。
二维把椭圆化为圆，三维把不正交向量盒化为普通参数长方体；变换都保留比例，却不保留原长度和角。
培玉 · 一试
2026 年浙江预赛
正四面体坐标盒截体的轨迹体积
F3填空题立体几何综合
现有棱长为 的正四面体 ， 为空间直角坐标系原点。设 为空间一点， 实数 满足
则当
时， 点形成的轨迹的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先在系数空间 中计算被一个截平面切下的长方体体积，再乘线性映射 的体积伸缩因子。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
在系数空间中，长方体
的体积为 。其中不满足题设不等式的部分是以三条坐标轴截距 为棱长的直角四面体，其体积为
故满足条件的系数区域体积为 。
正四面体棱长为 ，所以
且任意两向量夹角均为 。它们的格拉姆矩阵为
因此上述线性映射的体积伸缩因子为
所求轨迹体积为
复核
三个向量线性无关，因为 ；截去的区域确实完全位于给定长方体内， 其三个截距恰好等于长方体的三条边长。边界对体积没有影响。
方法总结
以三个不正交向量作坐标的轨迹体积，应先在参数盒中算普通体积，再乘向量行列式的绝对值。 当只知道两两夹角时，可由格拉姆行列式求这个伸缩因子。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把约束先看作系数长方体截去一个直角四面体，所得体积5再乘三基向量平行六面体的体积，不能直接当直角坐标实体。
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垫脚石（相关题 → 此题） 2014 年黑龙江预赛 第 6 题 · P010227
先练习补成熟悉柱体并扣去一个单纯形，再把同一思路搬到向量系数构成的参数盒中。被截去区域的轴截距决定其体积，但若坐标基不正交，还须另核从系数空间到真实空间的体积伸缩。
前题在已恢复的直棱柱里直接比较锥与柱；后题先算参数盒中作差，再乘非正交基的行列式因子。
已记下，谢谢！