培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2024 年北京预赛

F4填空题不等式的证明

对于 $c > 0$ ，若非零实数 $a, b$ 满足

4 a^{2} - 2 ab + 4 b^{2} - c = 0,

且使 $∣2 a + b ∣$ 最大，则

\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{2}{c}

的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先要利用第一层最大值条件锁定a:b=3:2，再把随c变化的第二层目标转为倒数变量二次式；先后优化不能混同。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影、作差后证明非负

专题卡：证明不等式或求最值：两边作差，配成平方、平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式