同一骨架 2024 年江苏预赛 · P006536
两题都先把连续整数的总和压成一个整式等式，再把原问题改写为固定整数的因子配对。因子大小与奇偶条件必须从原取值范围带回，不能把每个约数都当成合法配置。
一题的未知量是从全集删去的两个数，另一题是连续段的首项与项数；因式分解后的参数含义不同。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F2填空题数论
从集合 中选出两个数，使得其余 个数之和是这两个数 之积。则满足条件的两个数之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用全集元素之和表示“其余 个数之和”，所得等式 可以添 因式分解，从而把选数问题化为有限的因数配对。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设选出的两个数为 ，不妨设 。集合中所有数之和为
由题意，
即
由于 ，所以
又可取 ，并且
在 到 之间， 的因数只有 。故
从而
所求两数之和为
复核
代回可得其余 个数之和为
条件成立。因数 的所有较小正因数为 ，结合上下界后只有 ，因此没有遗漏其他数对。
方法总结
从连续整数集合中删去若干数后给出剩余元素和，通常先计算全集总和。出现 时添上 化为 ，再把原来的取值范围转成因数范围， 可同时完成求解与唯一性证明。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把剩余数和写成703-p-q后，识别(p+1)(q+1)=704并按范围选因数即可。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！