2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题

解答

按等比数列的定义，各项非零，特别地 $a_1\ne 0$。由 $|q|<1$，两无穷和均收敛，且

由两和相等，乘以 $1-q^2\ne 0$ 并约去 $a_1$，得 $a_1=1+q$。因此

当 $-1<q<0$ 时，此式的值域为 $[-1/4,0)$，最小值在 $q=-1/2$ 时取得； 当 $0<q<1$ 时，此式严格递增，值域为 $(0,2)$。 反过来，任取 $q\in (-1,0)\cup (0,1)$，令 $a_n=(1+q)q^{n-1}$，则各项非零且两种和确实相等。 故所求范围为