2013 年湖北预赛 · 第 13 题

解答

记 $q(x,y)=x^2/4+y^2$，相应双线性式为 $b(U,V)=u_x{v}_x/4+u_y{v}_y$。取两条过 $P$ 的独立方向 $U,V$，写 $A=P+\alpha U,C=P+\gamma U,B=P+\beta V,D=P+\delta V$。由 $AB\Vert CD$ 可设 $\gamma =t\alpha ,\delta =t\beta$。两条交点方程的根积分别为 $\alpha \gamma =(q(P)-1)/q(U)$、$\beta \delta =(q(P)-1)/q(V)$，所以 ${\alpha }^{2}q(U)={\beta }^{2}q(V)$。再将 $q(A)=q(B)=1$ 相减，得到 $b(P,A-B)=0$。因此若 $A-B=(h,j)$，就有 $x_{0}h/4+y_{0}j=0$，即 $\boxed{k_{AB}=-x_0/(4y_0)}$。过 $P$ 作此方向的直线 $P+sW$，交椭圆的方程为 $q(W)s^2+q(P)-1=0$，两根互为相反数，故 $\boxed{P\text{ 是 }EF\text{ 的中点}}$。