2014 年河北预赛 · 第 12 题

解答

设两斜率为 $k,-k$，其中 $k\ne 0$ 且有限。点 $P=(1,2)$ 在抛物线上；去掉这一已知根，另外两交点为 $A=((2/k-1{)}^2,4/k-2)$、$B=((-2/k-1{)}^2,-4/k-2)$。当 $k=\pm 1$ 时有一条是切线，第二交点就是 $P$，所述 $PA$ 或 $PB$ 未定义，应排除。因此中点轨迹为 $\boxed{y=-2,x>1,x\ne 5}$；任意候选横坐标可反取 $k=\pm 2/\sqrt{x-1}$ 实现。第二问中 $AB$ 的斜率为负一，在横坐标一处高度为 $4/k^2-2$，所以 $P$ 位于其上方等价于 $k^2>1$。弦长为 $8\sqrt{2}/|k|$，高为 $2\sqrt{2}(1-1/k^2)$。令 $u=1/k^2\in (0,1)$，面积为 $16\sqrt{u}(1-u)$，最大在 $u=1/3$，得到 $\boxed{S_{\max }=32\sqrt{3}/9}$。