2015 年河南预赛 · 第 5 题

解答

令 $u=1+a,v=2+b$，则 $u+3v=14$。柯西不等式给 $(1/u+4/v)(u+3v)\ge (1+2\sqrt{3}{)}^2$，所求不小于 $(13+4\sqrt{3})/14$。取 $u=14/(1+2\sqrt{3}),v=2u/\sqrt{3}$，有 $u>1,v>2$，从而还原出的 $a,b$ 正且满足原式，达到该界。所以答案为 $\boxed{(13+4\sqrt{3})/14}$。