培玉 · 一试
2025 年中科大少年班入围考 · 第 13 题
F3填空题概率
掷一枚均匀的六面骰子，直到第一次掷出奇数点为止。在此之前三个偶数点都至少出现过一次的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把三个偶数视为三种待收集类别，奇数是终止类别。
思路
已经收集过的偶数再出现只拖延时间，不改变还缺多少种的状态。
解答
设还缺 种偶数时，能在奇数出现前集齐它们的概率为 ，则 。下一掷出现新偶数的概率为 ，出现已见偶数的概率为 ，出现奇数的概率为 并立即失败。因此
起初三种都缺，故
复核
用缺少偶数种类作容斥也可核算：指定 种偶数全部未在首个奇数前出现的概率为 ，因为只看奇数与这 种偶数中谁先出现。于是集齐概率为 。此算法允许已见偶数任意重复，并未要求前三掷恰好是三个不同偶数。
方法总结
收集类别而遇到终止信号的过程，可按未见类别数建递推，消去重复类别造成的自环；缺类事件容斥也能独立复核。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须自主按首次奇数的时刻分解事件，并在条件样本空间中用容斥表达集齐概率；之后为等比求和。另可经状态递推，以有限状态消去自循环，不要求高等概率工具。
已记下，谢谢！