2022 年浙江预赛

思路

局部有限和指对每个固定输入只有有限项非零，不涉及分析中的收敛交换。这里用 $t{\prod }_{j=1}^k(t^2-j^2)$ 同时保证奇性、整系数和消失条件。

想法从哪来：固定一个变量，让整除模数不断增大，看看是否能把被整除量化成固定整数。 对整系数多项式，模 $m+n$ 下可把 $n$ 换成 $-m$，于是所有足够大的模数都整除 $f(m)+f(-m)$，它只能为0。这个奇性结论反过来也给构造提示。 要做非多项式函数，不妨把许多奇整系数多项式叠加；但真正的无穷和有收敛问题，所以给第 $k$ 项装上在前 $k$ 个正整数处消失的因子。每个整数输入只剩有限项，整除性可逐项相加；后面的阶乘型增长则确保所得函数无法是任何固定次数多项式。

第一问把 $n$ 写成模 $m+n$ 下的 $-m$，再让模数无限增大。第二问构造局部有限的奇整系数多项式和：每个整数点只有有限项非零，因此既保留整除性又能超过任意固定次数多项式的增长。