2024 年北京预赛

思路

超递增指数指每个新指数大于此前所有指数之和，它保证子集和唯一。这里只用整系数因式定理与有理根定理，不需要代数数论。

想法从哪来：先提出所有零根，再用有理根定理缩小正整数根的候选；此时只需研究根1的重数。 若含有 $(x-1{)}^N$，代入负点 $x=-1$ 就会出现因子 $2^N$。题设禁止负整数根，保证这个值非零；小系数又使它的绝对值不会太大，于是重数有界。 构造若直接用 $(x-1{)}^{10}$，二项式系数会超标。改成十个 $x^s-1$ 的乘积，每个仍贡献一个根1；让各指数大于此前指数和，就能避免不同子集产生同次项。指数还要全部取奇数，以免把-1也做成根，最后用单项式补足次数。

有理根定理把非零整数根限制为 $\pm 1$；在 $x=-1$ 处利用二进制整除给出重数上界，再用超递增奇指数构造达到上界。