同一骨架 2025 年浙江预赛 · P006186
两题都从余弦和差角公式获得同一三项递推。递推一方面让相邻大下标组合相消，另一方面说明各倍角余弦都是单个余弦值的整系数多项式，从而传递有理性。
一个使用递推在固定下标的具体等式，另一个沿全部正整数下标归纳；两者都无需求出角本身。
培玉 · 一试
2024 年山东预赛
F2填空题三角恒等变形
设 满足 为有理数，则使得 也是有理数的所有正整数 的集合是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
倍角余弦是 的整系数多项式，这是切比雪夫多项式的基本性质。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由递推
可知每个 都是整系数多项式，且 。因此 时，对每个正整数 都有 。答案为
复核
递推从加法公式直接得到，不要求 具有任何特殊取值。
方法总结
把三角倍角量改写为切比雪夫多项式，可立即继承有理性、整性或代数性。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用相邻倍角余弦递推传递有理性，属于和差公式与归纳的常规模型。
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