培玉 · 一试

专题地图 › 向量的数量积与几何意义

2026 年江苏预赛

区间约束下二维向量夹角余弦最小值

F3填空题向量的数量积与几何意义

设实数 $a, b, c, d \in [1, 3]$ ，则

\frac{( ab + c d ) ^{2}}{( a ^{2} + c ^{2} ) ( b ^{2} + d ^{2} )}

的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

把四变量比式识别为两个正向量夹角余弦平方，用坐标范围压住两向量方向，最远角差由相反的端点比取到。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用实参数表示后求全局最值

专题卡：角度、斜率或位置变化：化成一个变量再比较