一试训练题

解答

令 $t=\frac{1}{x+1}(t\ne 0)$，则 $x=\frac{1}{t}-1$，且 $f(x{)}^2=t^2\left[{\left(\frac{1}{t}-1\right)}^2+3\right]=4t^2-2t+1=4{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{4}$。当 $x>-1$ 时 $t>0$，$f>0$，而 $4t^2-2t+1$ 在 $t>0$ 上取遍 $\left[\frac{3}{4},+\infty \right)$（$t=\frac{1}{4}$ 即 $x=3$ 取到最小），所以 $f\in \left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty \right)$。当 $x<-1$ 时 $t<0$，$f<0$，且 $4t^2-2t+1>1$，在 $t<0$ 上连续并取遍 $(1,+\infty )$，所以 $f\in (-\infty ,-1)$。合并得 $\boxed{(-\infty ,-1)\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty \right)}$。