2018 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

设实根为 $t$。常数项是 $i$，故 $t\ne 0$，由方程得 $\alpha =-t-i/t$。于是 $|\alpha {|}^2=t^2+t^{-2}\ge 2$，等号在 $t=\pm 1$ 时成立。反过来任取 $M\ge \sqrt{2}$，方程 $u+1/u=M^2$ 有正根 $u=(M^2+\sqrt{M^4-4})/2$；取 $t=\sqrt{u},\alpha =-t-i/t$ 即有实根 $t$ 且 $|\alpha |=M$。因此范围是 $\boxed{[\sqrt{2},+\infty )}$。