2010 年湖南预赛 · 第 14 题

解答

若没有三角形，结论显然。否则固定三角形 $ABC$，另两点为 $D,E$。每个点在 $A,B,C$ 中至多有两个邻点，否则出现四面体。 若 $DE$ 未连，三角形只有原来一个，及分别经过 $D,E$ 的至多各一个，共至多三个。若 $DE$ 已连，此外还可有经过 $D,E$ 与它们在 $ABC$ 中的共同邻点的三角形。这样的共同邻点至多一个，否则两个共同邻点之间已有边，与 $D,E$ 形成四面体。因此总数至多 $1+1+1+1=4$。 取两组各两点、一组一点，只连不同组的点，即完全三部图 $K_{2,2,1}$，有四个三角形而没有四面体。故最大值为 $\boxed{4}$。