2017 年辽宁预赛 · 第 12 题

解答

记 $a=CB,b=CA,c=AB,L=a+b+c$，以C为原点，沿CA、CB的单位向量为u、v。则A=bu、B=av、$I=t(u+v)$，其中t=ab/L。把圆AIB写成

由A、B在圆上，$w\cdot u=b+k/b$、$w\cdot v=a+k/a$。余弦定理给

将I代入圆方程，得到

故k=ab，即C到此圆的幂为ab。沿两边的割线因此满足 $CA\cdot CP=CB\cdot CQ=ab$，所以 $CP=a,CQ=b$。于是

由同一顶点C处两边的比例，三角形CAQ与CPB相似，得到