2010 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

记 $D=(A-C)/2$。由 $a+c=3b$ 和正弦定理，$2\cos (B/2)\cos D=6\sin (B/2)\cos (B/2)$，故 $\cos D=3\sin (B/2)$。于是 $\tan (A/2)\tan (C/2)=\frac{\cos D-\cos ((A+C)/2)}{\cos D+\cos ((A+C)/2)}=\frac{3\sin (B/2)-\sin (B/2)}{3\sin (B/2)+\sin (B/2)}=\boxed{1/2}$，选 C。