2013 年辽宁预赛 · 第 11 题

解答

令 $g(x)=f(x)-x$，则对 $x>0$ 有 $g(x)=g(x-1)$。反复平移，可将 $x$ 送到 $r=x-\lceil x\rceil \in (-1,0]$。在该区间 $g(r)=2^r-1-r$，导数为 $(\ln 2)2^r-1<0$，且 $g(0)=0$，所以仅 $r=0$ 为零点。因此正实根恰是正整数。对正整数 $n$，有

从而