2016 年河北预赛 · 第 5 题

解答

令 $t=x^2$，定义域给 $0\le t\le 1$；再设 $u=\sqrt{t-t^2},v=\sqrt{2t-t^2}$。带权柯西不等式给 $(u+v{)}^2\le (2u^2+v^2)(1/2+1)=\frac{3}{2}(4t-3t^2)=2-\frac{9}{2}(t-2/3{)}^2\le 2$。在 $t=2/3$ 时 $u=\sqrt{2}/3,v=2\sqrt{2}/3$，两个等号同时成立。因此最大值为 $\boxed{\sqrt{2}}$。