2008 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

在模$2$意义下，$(1+x{)}^2\equiv 1+x^2$，反复平方可得

因为$2008=1024+512+256+128+64+16+8$，所以

在右边每个因子中独立选择$1$或另一项，共$2^7=128$种选法。不同选法得到的指数不同：若有两个子集的二次幂和相同，消去公共项后，最大幂大于所有较小幂的和，矛盾。因此右边恰有$128$个系数为$1$的项，即原式有$128$个奇系数。 原式从$a_0$到$a_{2008}$共有$2009$个系数，故偶系数的个数为

选$\boxed{\mathrm{D}}$。