2018 年河北预赛（高三卷） · 第 7 题

解答

由原式有 $x+2y=4+2z,x^2+y^2=3-z^2$。柯西给 $(4+2z{)}^2\le 5(3-z^2)$，即 $9z^2+16z+1\le 0$，因此 $(-8-\sqrt{55})/9\le z\le (-8+\sqrt{55})/9$。两端取 $x=(4+2z)/5,y=2x$，可同时满足原两式，所以它们确是最小与最大值。两者之和为 $\boxed{-16/9}$。