2018 年河北预赛（高二卷） · 第 5 题

解答

令 $p=\lg x,q=\lg y$，则 $p,q\ge 0$，题设变为 $p^2+q^2=2+2p+2q$，即

柯西不等式给 $p+q-2\le \sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2}$，故 $u\le 2+2\sqrt{2}$。当 $p=q=1+\sqrt{2}$ 时等号成立，且满足非负限制，所以 $\boxed{u_{\max }=2+2\sqrt{2}}$。