2009 年黑龙江预赛 · 第 8 题

解答

设正方形底面中心为 $O$，$AB$ 的中点为 $M$，半边长为 $r>0$， 高 $SO=h>0$。则 $OM=r$、$OA=\sqrt{2}r$，$SO\perp$ 底面， 且 $SM\perp AB$。 题设三个锐角分别是 $\alpha =\angle SAO$、$\beta =\angle SMO$、 $\gamma =\angle SAB$。由三个直角三角形，

它们的正切严格递增，故 $\alpha <\beta <\gamma <\pi /2$。

再过 $A$ 作 $AH\perp SB$，垂足为 $H$。 由正四棱锥关于平面 $SBD$ 的对称性，$CH\perp SB$ 且 $CH=AH$； 所以相邻两侧面的内二面角为 $\theta =\angle AHC$。 为核垂足确在棱上，由三角形 $SAB$ 的余弦关系有 $BH=2r^2/\sqrt{h^2+2r^2}$，严格介于 $0$ 与 $SB=\sqrt{h^2+2r^2}$ 之间。

在同一侧面 $SAB$ 中用两种底和高计算面积，

又 $A{C}^2=8r^2$，在等腰三角形 $AHC$ 中，余弦定理给出

故 $\theta >\pi /2>\gamma$，最终 $\boxed{\alpha <\beta <\gamma <\theta }$，选 A。 这里 $\theta$ 是侧面之间的内二面角，不能替换成两个支持平面所成的锐角。