2014 年黑龙江预赛 · 第 5 题

解答

按“内任取一点”的通常几何概率约定，$P$ 在三棱锥中关于体积均匀分布。 记三棱锥高为 $h$，$P$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $d$，则

取 $SA,SB,SC$ 中点分别为 $E,F,G$，则截面 $EFG$ 平行于底面，距底面为 $h/2$。 条件 $d<h/2$ 恰对应这个平面以下的棱台内部。其补部为上方与原三棱锥相似的小三棱锥 $S-EFG$，线性比 $1/2$，体积比 $1/8$。 截面本身的体积为零，不影响严格不等式的概率。因此

选 A。等高截面将体积条件转成位置范围，再用相似比的三次方求几何概率。