2024 年中科大少年班营一 · 第 4 题

解答

设首项系数为 $A\ne 0$。比较 $x^{4048}$ 的系数，得 $A=A^2$，故 $A=1$。在复数范围令 $R$ 为 $f$ 的互异根集合；它非空且有限。 若 $r\in R$，在原恒等式分别代入 $x=r$、$x=r-2$，可知 $r^2\in R$、$(r-2{)}^2\in R$。对任何根不断平方，所得根仍属于有限集合；若其模大于1，反复平方的模将无界，矛盾。所以全部根都满足 $|r|\le 1$，并由 $(r-2{)}^2\in R$ 进一步得 $|r-2|\le 1$。 于是

取等要求 $r$ 落在实线段 $[0,2]$ 上，且到两端距离都不超过1，只能 $r=1$。故所有2024个根按重数都为1。结合首项系数，得

代回有 $f(x^2)=(x-1{)}^{2024}(x+1{)}^{2024}=f(x)f(x+2)$，所以确实满足。