2009 年天津预赛 · 第 3 题

解答

擦去若干数后写回它们的和模七的余数，总和只减去七的整数倍，所以总和模七不变。原总和为 $2009\cdot 2010/2$，因为 $2009=7\cdot 287$ 且二千零一十为偶数，它被七整除。 设最后的一位数为 $d$，另一个数为一百，则 $100+d\equiv 0(\mathrm{mod}7)$，即 $d\equiv 5(\mathrm{mod}7)$。在一位非负整数范围内唯一为 $\boxed{5}$。