2009 年黑龙江预赛 · 第 13 题

解答

令对数为辅助参数，同时保留原分母不为零的限制。 对数有意义须 $a>0$。设 $t=\lg a\in \mathbb{R}$，则原方程等价于

把 $x=-t$ 代入二次式，值为 $t^3+1$。因此只有 $t=-1$ 时二次式的根才可能落在分母禁点。 若 $t=-1$，二次式为 $(x-1{)}^2$，其唯一根 $x=1=-t$ 被排除，原方程无解。 若 $t\ne -1$，二次式的实根均合法，恰有一个解当且仅当判别式为零，即

$t-t^2=2$ 等价于 $t^2-t+2=0$，无实数解； $t-t^2=-2$ 等价于 $(t-2)(t+1)=0$。排除 $t=-1$，只余 $t=2$。 此时 $a=100$，原方程的唯一根 $x=1$ 满足 $x+\lg a=3\ne 0$。 所以 $\boxed{a=100}$。