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2024 年内蒙古预赛
F3填空题多项式
已知关于 x 的方程 x3−3x+4=0 的三个复数根分别为 z1,z2,z3,则 (z1−z2)2(z2−z3)2(z3−z1)2 的值为。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:−324
解析
思路
题中乘积正是首一三次多项式的判别式,可直接使用判别式公式,避免显式求根。
解答
首一三次多项式 x3+px+q 的判别式为
Δ=−4p3−27q2=1≤i<j≤3∏(zi−zj)2.
本题 p=−3,q=4,所以
Δ=−4(−3)3−27⋅42=108−432=−324.
复核
原多项式只有一个实根,另两根共轭,判别式为负与根的类型相符;题中三个平方因子的次序不影响乘积。
方法总结
根的两两差平方乘积是多项式判别式的典型信号;对无二次项的三次式,公式尤其简洁。
为什么评为 F3(会透露解法方向)
须识别根差乘积与三次判别式的联系,并用判别式公式计算。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:韦达定理:根的整体关系
专题卡:只问根的和、积和对称式:用韦达定理,不求根