2010 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

先由 $a_2=1/4$ 出发归纳：若 $a_n=1/(3n-2)$（$n\ge 2$），则 $n-a_n>0$，代入递推得到 $a_{n+1}=1/(3n+1)$。又该式在 $n=1$ 也给出 $1$，故

也可令 $u_n=1/a_n$，将原式写为 $u_{n+1}-1=\frac{n}{n-1}(u_n-1)$，由 $u_2=4$ 得到同一结果。 对 $k\ge 2$，因

有 $a_k^2<1/[6k(k-1)]$。所以 $n\ge 2$ 时

$n=1$ 时左侧为 $1<7/6$，故所有正整数均成立。