2025 年浙江预赛

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件。棋盘上标有第 $0$ 站、第 $1$ 站、第 $2$ 站、$\dots$、第 $100$ 站，一枚棋子开始在第 $0$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次；若掷出正面，棋向前跳一站（从 $k$ 到 $k+1$），若掷出反面，棋向前跳两站（从 $k$ 到 $k+2$）。直到棋子跳到第 $99$ 站（胜利大本营）或跳到第 $100$ 站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $p_n$。

（1）求 $p_0,p_1,p_2$ 的值；

（2）求证：

（3）求 $p_{99},p_{100}$ 的值。

小明参加了一场智力挑战赛，每轮比赛在难度系数较低的甲类问题以及难度系数较高的 乙类问题中随机答一道题。小明遇到每类问题的概率均为 $\frac{1}{2}$。小明遇到甲类问题时 回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$，回答正确记 $1$ 分，否则记 $0$ 分；小明遇到乙类问题时 回答正确的概率为 $\frac{1}{4}$，回答正确记 $2$ 分，否则记 $0$ 分。小明回答每个问题 正确与否相互独立。

1. (1)

   当进行完 $2$ 轮比赛时，求小明的总得分 $X$ 的分布列与数学期望；

2. (2)

   设小明在每轮比赛中均回答正确且累计得分为 $n$ 分的概率为 $P(n)$， 求 $P(n)$ 的解析式。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

则 $a_{2025}=$。