2011 年安徽预赛 · 第 12 题

解答

设 $AD$ 斜率为 $m$，左支 $D\ne A$ 给 $|m|>1$，且 $D=((1+m^2)/(1-m^2),2m/(1-m^2))$。令 $AE$ 斜率为 $w$，对应两点弦方程为 $(1+mw)x-(m+w)y=1-mw$。代入该弦上的 $C=(2,0)$，得 $mw=-1/3$。双曲线上同一点到左右顶点的割线斜率积为一，所以 $BE$ 斜率为 $1/w=-3m$。联立 $AD:y=m(x+1)$ 与 $BE:y=-3m(x-1)$，得到 $\boxed{x_P=1/2}$。