垫脚石（此题 → 相关题） 2016 年河南预赛 第 1 题 · P010992
在二次约束下求普通平方和，先辨认交叉项如何随方向变化。对称系数时可由平方差得到锐的乘积界；不对称时可先配成平方和，再参数化保留完整方向。
前题的同号或异号等模方向能取等；后题的两个对角系数不同，不能直接搬用这些方向，需从参数表达式恢复实际等号点。
培玉 · 一试
2017 年河南预赛 · 第 1 题
F2填空题函数的值域
实数 满足
若 ，记 的最大值为 ， 的最小值为 ，则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
目标只含平方和，交叉项可由基本不等式夹住。
思路
两个方向的等号分别由同号、异号等模变量实现，便能同时求最大最小平方和。
解答
设 ，则 。由约束，
所以
即
取 时达到上界；取 时达到下界，且均满足原方程。 于是 ，故
复核
上界使用 ，下界使用 ，两种取等符号不能混淆。所求是两个正极值的倒数和，不是平方和本身的范围端点相加。
方法总结
二次约束下的平方和最值，可先以 转成一元双边界；必须各自构造等号，才能确定这确为最大与最小值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用平方和控制交叉项，可把二次约束化为目标的一元双边界；上、下界分别对应同号与异号等模变量，需要独立回验两组等号构型。
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