垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年福建预赛 · P006322
先用数码和的粗界把候选压到一个短区间，再考虑同时含数码积的无界整数方程。后一题需先比较位数增长，证明高位数全部不可能，才能安全地对低位数逐位消元。
前题已有固定总量给数值上界；后题没有预先上界，必须补出按位数停止的理由，尤其要控制首位。
培玉 · 一试
2022 年江西预赛
数位和与数位积相加等于原数
F3填空题数论
对于正整数 ，将其各位数字之和记为 ，各位数字之积记为 。若
成立，就称 为巧合数，则所有巧合数的和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先按位数排除。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
四位及以上时，数字积与数字和的最大可能值小于最小的同位数；三位数可把等式整理成简单的数位乘积关系；二位数则直接解出个位。
解答
一位正整数 满足 ，故没有一位巧合数。
设 有 位，首位为 。则
其中中间严格不等式在 时已有
且随 增大更强。因此没有四位及以上的巧合数。
若 为三位数，则条件化为
由于 ，这将推出
矛盾。因此没有三位巧合数。
若 为二位数，则
即 。由于 ，必有 。所以巧合数恰为
它们的和为
复核
对任意 ，数 的数字和与积之和为 ；各位数分类已覆盖全部正整数。
方法总结
数位和与数位积方程先用位数增长速度作粗界：原数按 增长，数字积最多按 增长。只剩少数低位数后，再按十进制展开精确求解。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是利用数码积最多按9增长、位值按10增长排除四位以上，再对三位给更紧界，最后二位等式直接强迫末位9。
联系 · 2 条
易混 2022 年江西预赛 · P006870
两题都按十进制位值拆分，但“所有正整数”和“给定上界以内”要求不同的分层。无界题先证明高位数不可能；有界计数则要处理允许前导零的完整块与最高位截断块，不能只算完整位数。
数码积出现时，零数码会改变方程结构；只含数码和与整除判据的计数，还要登记末位和不完整前缀的限制。
已记下，谢谢！