培玉 · 一试

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2016 年湖南预赛 · 第 14 题

F3解答题平面几何综合

已知四边形 $A BC D$ 是正方形， $P$ 是边 $C D$ 上一点（点 $P$ 不与顶点重合），延长 $A P$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $Q$ 。设 $△ A BQ$ 、 $△ P A D$ 、 $△ PCQ$ 的内切圆半径分别是 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 。

(1)
证明： $r_{1}^{2} \geq 4 r_{2} r_{3}$ ，并指出点 $P$ 在什么位置时等号成立；
(2)
若 $A B = 1$ ，试求证：
$3 - 22 < r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2} < \frac{1}{2} .$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

相似直角三角形先给内切半径的线性比例，第一问化为均值界；平方和用同一参数判严格单调，须区分合法中点与被排除端点。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用实参数表示后求全局最值

专题卡：坐标法