2015 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

记椭圆中心为 $O$，$O{F}_1=O{F}_2=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。 由于 $\overrightarrow{O{F}_2}=-\overrightarrow{O{F}_1}$，有

在直角三角形 $OAB$ 中，$OA=2,OB=1,AB=\sqrt{5}$。从 $O$ 向斜边 $AB$ 作垂线，垂足为 $H$； 由面积相等得 $OH=OA\cdot OB/AB=2/\sqrt{5}$。直角三角形的斜边高足位于线段内部， 所以对 $P\in AB$，$OP\ge OH$，且 $P=H$ 可取等。 因此所求最小值为 $\boxed{O{H}^2-3=4/5-3=-11/5}$。 这保留了“线段”范围，未把最近点误放在延长线上。