2015 年天津预赛 · 第 5 题

解答

共有 $16$ 条候选对角线，任选两条的总数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2}\right)=120$。两条体对角线相交于正方体中心，没有异面配对。

固定一条面对角线，与四条体对角线中的两条共享端点，另外两条与它异面，所以“面对角线、体对角线”异面对共 $12\cdot 2=24$ 对。

再固定一条面对角线：同面另一条对角线与它相交；对面两条中一条平行、一条异面；四个相邻面各有一条对角线共享其端点，另一条与它异面。因此与其异面的面对角线共 $1+4=5$ 条。面对角线之间的异面无序对数为 $12\cdot 5/2=30$。

总异面对数为 $24+30=54$，概率为

故选 $\boxed{\mathrm{B}}$。