2011 年黑龙江预赛 · 第 12 题

解答

在 $M=[1,9/4]$ 上，$\phi (x)=x+4/x\ge 4$，且等号唯一在 $x=2$。把题设的任意 $x$ 特取为 $2$，则见证点满足 $4\ge \phi (x_0)$，故只能 $x_0=2$，并得到 $f(2)=4$。对一般 $x$，其见证点又满足 $f(x)\ge f(x_0)=\phi (x_0)\ge 4$，所以 $2$ 是 $f$ 的内点最小点。因此 $f^{\prime }(2)=8+3p=0$，得 $p=-8/3$；结合 $f(2)=4$ 得 $q=6$。于是 $f(x)=2(x-2{)}^2+4$，在闭区间最大值取于较远端点 $x=1$，为 $\boxed{6}$，选 C。