2011 年辽宁预赛 · 第 6 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$，上顶点第三坐标为一。写 $M=(0,t,1-t),N=(1-s,1,s)$，$s,t\in [0,1]$。对角面方程为 $x-y=0$，平行条件给 $(N-M)\cdot (1,-1,0)=t-s=0$。故 $s=t$，有 $M{N}^2=2(1-t{)}^2+(2t-1{)}^2=6(t-2/3{)}^2+1/3$。在 $t=2/3$ 取得最小，所以 $\boxed{M{N}_{\min }=\sqrt{3}/3}$，选 A。