培玉 · 一试
2022 年福建预赛
长方体平面平行与二面角
F2填空题空间角与距离
为长方体 的对角线 上一点，平面 平面 。若 ，则二面角 的正切值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
建立与长方体棱平行的空间坐标系。
思路
平面平行条件先确定 在体对角线上的参数，再用垂直于棱 的截面读取二面角。
解答
设
令
平面 的一个法向量为
因为平面 经过原点且与该平面平行，所以 满足
代入得 ，故 。
在过 且垂直于 的截面内， 相对底面沿 方向的距离为 ，高度为 。因此二面角 的正切值为
复核
平面 的法向量可取 ，与底面法向量 的夹角余弦为 ，故相应二面角的正切确为 。
方法总结
空间平面平行适合用法向量确定动点参数；求二面角时再转到垂直于棱的截面，避免把法向量夹角的余弦误当成题目所求的正切。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
标准长方体坐标下平面平行直接给对角线参数1/3，再由垂直AB截面的高与水平距之比得正切2，结构常规。
已记下，谢谢！