2017 年河南预赛 · 第 9 题

解答

令 $t=\cos x\in [0,1]$。原方程等价于 $2t^2-4at-a+1=0$，即

有 $g^{\prime }(t)=4(2t-1)(t+1)/(4t+1{)}^2$，所以 $g$ 在 $[0,1/2]$ 严格递减，在 $[1/2,1]$ 严格递增，且 $g(0)=1,g(1/2)=1/2,g(1)=3/5$。 在原区间，$0\le t<1$ 的每个余弦值有两个不同原像，而 $t=1$ 只有 $x=0$ 一个原像。于是：$a=1/2$ 时仅 $t=1/2$，有两个解；$1/2<a<3/5$ 时两个内值共四解；$a=3/5$ 时 $t=1/5,1$ 共三解；$3/5<a\le 1$ 时仅左支一个 $t\in [0,1/5)$，恰有两解；其余参数无解。因此